概念

椭圆曲线

Weierstrass 方程定义的椭圆曲线有自然的群结构，BSD 猜想联系其算术秩与 L-函数，是千禧年难题。

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椭圆曲线代数几何

01定义

椭圆曲线是光滑三次曲线

y^2=x^3+ax+b

（判别式非零）。弦切法赋予它阿贝尔群结构：三点共线则其和为零。有理点的群结构把几何与算术焊接在一起——BSD 猜想是其上最著名的千禧年难题。

弦切法群律：过 P、Q 的直线交曲线于 R，则 P+Q=−R

以无穷远点 $O$ 为单位元，「三点共线则和为零」定义加法——代数闭域上得到环面 $\mathbb{C}/\Lambda$ ，数域上得到有限生成阿贝尔群（Mordell-Weil）。

$j=1728\cdot\frac{4a^3}{4a^3+27b^2}$ 在复数域上完全分类椭圆曲线的同构类； $j$ 还是模函数论与「月光猜想」的主角。

有理点群的秩等于 L-函数 $L(E,s)$ 在 $s=1$ 的零点阶数——几何的「解的个数」与分析的「特殊值」之间的深刻桥梁。

E:\ y^2=x^3+ax+b,\quad\Delta=-16(4a^3+27b^2)\neq 0

E(K)\cong\mathbb{Z}^r\oplus E(K)_{\text{tors}}\quad(\text{Mordell-Weil})

源自阿贝尔积分与椭圆函数（阿贝尔、雅可比，1820 年代）；Weierstrass 给出标准方程；1901 年 Poincaré 明确群律；2016 年 BSD 的弱形式进展获关注，它仍是千禧年七大难题之一。

椭圆曲线密码学（ECC）以群上离散对数难题支撑 TLS 与区块链签名；整数分解的 Lenstra 椭圆曲线方法；Wiles 用椭圆曲线的模性证明了费马大定理。

椭圆曲线群：P+Q 的弦切构造y²=x³−x：弦 PQ 交曲线于 R，P+Q = −R（x 轴对称）

P 的 x-0.55Q 的 x1.60P 分支 ±1