概念

微分形式

外微分统一了梯度、旋度、散度，斯托克斯定理是微积分基本定理的最高形式，德拉姆上同调用它度量空间的拓扑。

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微分形式微分几何

01定义

微分形式是流形上可积分的对象：1-形式可沿曲线积分，2-形式可沿曲面积分。外微分

d

统一梯度、旋度、散度，广义 Stokes 定理

\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega

是微积分基本定理的最高形式。

广义 Stokes 定理：区域 M 上的积分等于边界 ∂M 上的积分

$dx^i$ 是基本 1-形式，楔积 $dx\wedge dy=-dy\wedge dx$ 反对称地构造高次形式；反对称性自动编码「定向」与「面积」。

$d$ 把 k-形式变为 (k+1)-形式且 $d^2=0$ ；在 $\mathbb{R}^3$ 中 $d$ 即 grad、curl、div， $d^2=0$ 即 curl grad=0、div curl=0。

闭形式（ $d\omega=0$ ）模恰当形式（ $\omega=d\eta$ ）构成 de Rham 上同调群，由微分形式「测出」空间的拓扑洞。

\omega=f\,dx\wedge dy

d^2=0

\int_M d\omega=\int_{\partial M}\omega

Cartan 在 20 世纪初创立外微分演算；de Rham 1931 年证明其上同调与奇异上同调同构，把分析与拓扑焊接在一起。

Maxwell 方程写成 $dF=0,\ d{\star}F=J$ 最为简洁；力学、热力学、规范场论的自然语言都是微分形式；计算电磁学亦依赖它。

1-形式 ω = a·dx + b·dy 的等值线系数 (a,b) 决定平行线族方向与密度；对向量 v 求值 = (a,b)·v

a（dx 系数）2.00b（dy 系数）1.00