概念

动量映射与约化

对称群的动量映射将对称性与守恒量对应，Marsden-Weinstein 约化用对称性缩小相空间维度。

阅读路径

参考可汗学院 Get ready 机制：先修概念 → 当前概念 → 进阶概念，✓ 表示已读。

动量映射与约化辛几何

01定义

若辛流形带保辛的群对称

G

，动量映射

\mu:M\to\mathfrak{g}^*

把每点映为其对称方向的「守恒量」——Noether 定理的几何形式。Marsden-Weinstein 约化把

\mu^{-1}(0)/G

做成新的辛流形，按对称性降维。

Marsden-Weinstein 约化：沿对称群轨道压缩，得到低维辛流形 M//G

若 $H$ 在 $G$ 下不变，则 $\mu$ 沿哈密顿流守恒——「连续对称 ⇔ 守恒量」被表述为动量映射沿流不变。

在正则值处 $\mu^{-1}(\xi)/G_\xi$ 自带辛结构，维数下降 $2\dim G$ ——开普勒问题的负能量曲面约化后就是 $S^2$ 。

奇异约化、商群（symplectic cut）、矩多面体（Atiyah-Guillemin-Sternberg 凸性定理）使约化成为表示论与组合学的桥梁。

\iota_{\xi_M}\omega=d\langle\mu,\xi\rangle

(M_\text{red},\omega_\text{red})=(\mu^{-1}(0))/G

Noether 1918 年定理给出对称—守恒对应；Souriau、Kostant 1960-70 年代构造动量映射；Marsden 与 Weinstein 1974 年证明约化定理，成为规范场论的几何语言。

刚体动力学按旋转对称约化后大幅降维；规范场论的路径积分先做辛约化；多体问题（N 体开普勒）的对称约化揭示隐藏守恒量。

动量映射：J(x) = 常数曲面与商空间S¹ 作用保持 J：约化 J⁻¹(μ)/S¹ 把相空间「削薄」两维

μ 动量值1.50