概念

素数分布

欧几里得反证法证明素数无穷多，切比雪夫估计给出素数计数函数 π(x) 的数量级。

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素数分布初等数论

01定义

素数是乘法的原子。欧几里得以优雅的反证法证明素数无穷多；素数计数函数

\pi(x)

的增长率

\pi(x)\sim x/\log x

揭示了素数「宏观有序、微观混乱」的双重性格。

素数筛视：合数落网，素数突围

假设素数有限为 $p_1,\dots,p_n$ ，则 $N=p_1\cdots p_n+1$ 不被任何 $p_i$ 整除，其素因子是新素数——矛盾。史上最简洁的存在性证明之一。

切比雪夫 1850 年用初等方法证明 $c_1\frac{x}{\log x}<\pi(x)<c_2\frac{x}{\log x}$ ：素数的平均间隔约 $\log x$ ，离素数定理只差精确常数 1。

相邻素数之差可以任意大（ $n!+2,\dots,n!+n$ 全为合数）；孪生素数猜想（间隔 2 出现无穷次）直到张益唐 2013 年才突破有界间隔。

\pi(x)=\#\{p\leq x:p\text{ prime}\},\quad \pi(x)\asymp\frac{x}{\log x}

欧几里得（约前 300 年）证素数无穷；切比雪夫 1850 年给首个量级估计；张益唐 2013 年证明存在无穷多对间隔小于 7000 万的素数对，后被 Polymath 项目压缩到 246。

密码学的素数生成与素性检验、哈希表的素数模设计、伪随机数发生器的周期分析、黎曼假设等价形式的研究主线。

Ulam 螺旋：素数偏爱斜线调整格数与起始数，观察素数沿对角线聚拢

边长格数33起始数1