概念

估计性质

无偏性（期望等于真值）、有效性（方差最小）、相合性（样本量增大收敛到真值）与充分统计量（不损失信息）。

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估计性质数理统计

01定义

评价估计量的四把尺：无偏性（期望等于真值）、有效性（方差达到下界）、相合性（样本增多收敛真值）、充分性（不丢信息）。Cramér-Rao 下界与 Rao-Blackwell 定理给出「更好估计」的构造法则。

打靶类比：无偏性与有效性的二维评价

无偏 $E[\hat\theta]=\theta$ 不是唯一标准：MSE = 方差 + 偏差²，有偏的岭回归靠压方差赢全局——偏差-方差权衡的统计原型。

$I(\theta)=E[(\log f)'^2]$ 度量样本含参数的信息量；任何无偏估计方差 $\geq 1/(nI)$ ，等号可达时称有效估计（指数族中常见）。

充分统计量 $T$ 保住全部参数信息（条件分布与参数无关）；因子分解定理给判据；Lehmann-Scheffé：完备充分统计量的无偏函数 = 唯一最优估计。

\mathrm{Var}(\hat\theta)\geq\frac{1}{nI(\theta)},\quad I(\theta)=E\!\left[\Big(\frac{\partial}{\partial\theta}\log f\Big)^2\right]

费希尔 1920 年代引入充分性与信息概念；克拉梅 1946 年与 Rao 1945 年独立证明下界定理；Blackwell 与 Lehmann-Scheffé 1947-50 年完成最优估计框架。

实验设计的效率比较、估计量的理论评审（新方法的发表门槛）、压缩感知的信息界限、联邦学习的通信效率分析。

无偏性：E[θ̂] = θ 吗？重复模拟：估计量分布在真值附近且均值 ≈ θ

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