共轭先验
先验与后验同族使计算封闭（如 Beta-Binomial），是贝叶斯计算最优雅的情形。
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01定义
贝叶斯推断用先验 × 似然 ∝ 后验更新信念。共轭先验使后验与先验同族：Beta-Binomial、正态-正态等配对让更新成为参数加减的封闭运算——可解性与可解释性的优雅结合。
02核心要点
01
经典配对表
Beta-Binomial（比率）、正态-正态（均值）、Gamma-Poisson（速率）、Dirichlet-多项式（概率向量）——指数族的自然共轭先验有统一构造。
02
序贯更新
共轭族对数据逐条封闭：后验即下一轮先验——在线学习、A/B 测试实时仪表盘的数学内核。
03
先验的主观性
杰弗里斯先验（信息几何不变）与弱信息先验是「客观化」尝试；先验敏感性分析是贝叶斯报告的义务。
03关键公式
04历史沿革
贝叶斯-拉普拉斯传统在 20 世纪由萨维奇复兴；Raiffa 与 Schlaifer 1961 年命名共轭先验；Diaconis-Ylvisaker 1979 年给出指数族的系统理论。
05应用与延伸
垃圾邮件分类的先验更新、推荐系统的 Beta-Bernoulli 排序、临床试验的适应性设计、可靠性工程的寿命先验。
06交互演示
共轭先验：Beta 先验 × 二项似然 → Beta 后验观察数据越多，后验越集中、越远离先验