概念

分布

离散分布（二项、泊松）与连续分布（正态、指数）是常用分布，分布函数唯一刻画随机变量。

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分布概率论

01定义

分布函数

F(x)=P(X\leq x)

完全刻画随机变量：离散型以概率质量函数分层（二项、泊松），连续型以密度函数铺开（正态、指数）。选对分布 = 选对随机世界的模型。

两大世界：连续密度曲线与离散质量柱

二项 $B(n,p)$ （ $n$ 次独立成败）、泊松 $\mathrm{Poi}(\lambda)$ （稀有事件计数，二项的极限）、几何（首次成功）——计数与等待的基本积木。

正态（误差与极限定理）、指数（无记忆的等待时间）、均匀；指数分布是唯一无记忆的连续分布——马尔可夫性的连续化身。

$F$ 单调、右连续、 $F(-\infty)=0$ 、 $F(+\infty)=1$ 四条性质恰与分布一一对应；混合分布（部分离散部分连续）同样被 $F$ 统一刻画。

F(x)=P(X\leq x),\quad f(x)=F'(x),\quad \sum_kp_k=1\ /\ \int f\,dx=1

棣莫弗 1733 年发现正态曲线作为二项近似；拉普拉斯系统化；泊松 1837 年命名泊松分布；20 世纪分布理论融入测度论框架。

排队论的到达与服务模型、可靠性工程的寿命分布、蒙特卡洛采样的目标分布、保险精算的索赔建模。

正态密度曲线 N(μ, σ²)拖 μ 平移、拖 σ 变胖瘦，感受钟形曲线的两个参数

μ 均值0.00σ 标准差1.00