概念

数字特征

期望是均值、方差是离散度，协方差与相关系数度量两个变量的线性关联。

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数字特征概率论

01定义

期望

E[X]

是概率加权的均值，方差

\mathrm{Var}(X)

度量围绕均值的离散，协方差与相关系数刻画两个变量的线性关联。几个数字浓缩分布的关键行为——统计描述的通用语言。

均值是重心，方差是散布，相关是线性牵连

$E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$ 无需独立性——期望是最宽容的运算；LOTUS 公式 $E[g(X)]=\int g\,dF$ 让我们不必先求 $g(X)$ 的分布。

$\mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2$ ；独立时方差可加 $\mathrm{Var}(\sum X_i)=\sum\mathrm{Var}(X_i)$ ——这是中心极限定理 $\sqrt{n}$ 标度的来源。

$\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]$ ， $\rho=\mathrm{Cov}/(\sigma_X\sigma_Y)$ ；柯西-施瓦茨保证 $|\rho|\leq 1$ ，等号当且仅当线性相关。

E[X]=\int x\,dF(x),\quad \mathrm{Var}(X)=E[X^2]-E[X]^2

惠更斯 1657 年《论赌博中的计算》首创期望概念；棣莫弗研究离散度；高斯与勒让德在误差理论中发展方差与最小二乘。

投资组合的风险度量（马科维茨均值-方差框架）、信号处理的功率谱、机器学习的偏差-方差分解、质量控制的六西格玛。

二项分布的数字特征：期望与方差调整 n、p：E[X]=np 是柱状图的重心

n 试验次数6p 成功概率0.40