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期权定价

Black-Scholes 公式用鞅测度无套利定价欧式期权，是金融数学的开山之作。

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期权定价随机分析

01定义

Black-Scholes 定价：在无套利假设下，期权价格 = 风险中性测度下折现收益的期望。Feynman-Kac 把该期望化为抛物型 PDE；鞅表示定理保证对冲策略存在——定价、PDE、对冲三位一体。

期权价格曲面在到期日退化为折线收益

等价鞅测度 $Q$ 下折现资产是鞅： $V_t=e^{-r(T-t)}E^Q[\text{收益}\mid\mathcal{F}_t]$ 。第一基本定理：无套利 $\Leftrightarrow$ 等价鞅测度存在；第二定理：完备 $\Leftrightarrow$ 唯一。

欧式看涨： $C=S\Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2)$ ；导数 Delta、Gamma、Vega、Theta 是对冲与风险管理的通用语言——偏导数即敏感度。

定价 PDE $V_t+\mathcal{L}V-rV=0$ 的解即条件期望；蒙特卡洛定价（模拟 $Q$ 路径）与有限差分（解 PDE）是同一枚硬币的两面。

C=S_0\Phi(d_1)-Ke^{-rT}\Phi(d_2),\quad d_{1,2}=\frac{\ln(S_0/K)+(r\pm\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}

巴舍利耶 1900 年论文首用布朗运动定价，被遗忘七十年；布莱克与斯科尔斯 1973 年、默顿同年给出对冲论证与公式，1997 年获诺贝尔经济学奖。

交易所期权做市、结构化产品设计、风险度量（VaR/希腊字母）、实物期权的项目估值、波动率曲面建模。

Black-Scholes：看涨期权价格曲线C = S·N(d₁) − K·e^{−rT}·N(d₂)：随 σ 增大期权变贵

波动率 σ0.30