三角形与勾股定理
图形的性质 · 七至九年级三角形边角关系与内角和，全等三角形的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），等腰三角形性质，勾股定理及其逆定理。
三角形是初中几何的主角：从边角关系与内角和，到全等判定的五种方法，再到勾股定理及其逆定理，几何证明的核心工具在这里集结完毕。
§ 01
三角形的基本性质
任意两边之和大于第三边；内角和为 180°；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。三角形按角分锐角、直角、钝角三角形，按边分不等边、等腰、等边三角形。
§ 02
全等三角形的判定
五条判定路径：SSS（三边）、SAS（两边及夹角）、ASA（两角及夹边）、AAS（两角及一角对边）、HL（直角三角形的斜边与直角边）。SSA 不能判定全等（反例存在），AAA 只能判定形状相同。全等后对应边相等、对应角相等是证明线段角相等的主要工具。
§ 03
等腰与等边三角形
等腰三角形两底角相等（等边对等角），三线合一：顶角平分线、底边中线、底边高互相重合。判定：等角对等边。等边三角形三角都是 60°；有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形。
§ 04
勾股定理
直角三角形两直角边平方和等于斜边平方：。证明方法多样（面积拼图法最经典）。应用：已知两边求第三边、计算平面内两点距离（结合坐标系）、判断立体图形表面最短路径（展开成平面）。
§ 05
勾股定理的逆定理
若三角形三边满足 ，则它是直角三角形， 边所对角为直角。用途：由边长判断直角、构造垂直关系。常见勾股数组：3,4,5 及其倍数，5,12,13，8,15,17，7,24,25。
核心公式速查
勾股定理
内角和
学习建议与易错点
- 全等书写要把对应顶点写在对应位置： 意味着 A 对 D、B 对 E、C 对 F。
- SAS 的角必须是两边的夹角，SSA 不能判定全等——举反例记忆最牢。
- 勾股定理使用前必须确认直角三角形，斜边永远是最长边（直角所对）。
- 三边关系检验构成三角形：只需验证最短两边之和大于最长边。