概念

数列

等差数列与等比数列是两类最基本的数列，递推关系与求和公式把离散演化规律显式化，是研究离散数学的第一步。

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数列初等代数

01定义

数列是按正整数索引的一列数，可视为「离散化的函数」。等差数列与等比数列是两类基本模型：前者每步加常数，后者每步乘常数；递推关系与求和公式把离散演化显式化。

等差数列线性增长（柱状），等比数列指数增长（翻倍圆）

通项 $a_n=a_1+(n-1)d$ ，求和 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ （高斯求和）——线性增长的离散模型。

通项 $a_n=a_1 q^{n-1}$ ，求和 $S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ ； $|q|<1$ 时可求无穷和 $\frac{a_1}{1-q}$ ——指数增长与衰减的模型。

斐波那契数列 $F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$ 说明：递推关系可产生远超等差等比的复杂行为，其特征方程方法通杀线性递推。

S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\quad(\text{等差})

S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\quad(\text{等比},\ q\neq 1)

等差等比数列的求和古已有之（埃及纸草书、《九章算术》）；高斯幼年求 1+2+…+100 的故事家喻户晓；斐波那契 1202 年《算盘书》引入以其命名的递推数列。

复利计算（等比）、贷款分期（等比求和）、算法复杂度分析（递推式）、种群模型与放射性衰变都是数列的直接应用。

数列迭代：蛛网图（logistic 映射）xₙ₊₁ = r·xₙ(1−xₙ)：对角线反射 + 曲线迭代观察收敛/周期

r 参数3.20n 迭代步10