概念

曲线曲面积分

格林、高斯与斯托克斯公式将区域积分化为边界积分，是场论与流体力学的基本定理。

阅读路径

参考可汗学院 Get ready 机制：先修概念 → 当前概念 → 进阶概念，✓ 表示已读。

曲线曲面积分数学分析

01定义

曲线曲面积分把积分推广到弯曲的对象上：线积分累计向量场沿路径的作用，面积分累计场穿过曲面的通量。格林、高斯、斯托克斯三公式把内部积分化为边界积分——场论的基本定理。

格林公式：区域上的二重积分化为边界的线积分

格林（平面）、高斯（体→面，散度定理）、斯托克斯（面→线，旋度定理）——都是「内部总量 = 边界净流量」的具体化。

微分形式的斯托克斯定理 $\int_{\partial M}\omega=\int_M d\omega$ 把三者统一为一行公式——外微分语言的展示橱窗。

散度 = 源强度、旋度 = 局部环流密度；无旋场有势函数、无散场有流函数——麦克斯韦方程组的数学语法。

\iint_D(\partial_xQ-\partial_yP)\,dA=\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy

\int_{\partial M}\omega=\int_M d\omega

格林 1828 年自费等价出版论文提出格林公式；高斯 1813 年已有散度定理；斯托克斯 1854 年以考题形式传播旋度定理，麦克斯韦将其用于电磁学。

电磁学的麦克斯韦方程、流体力学的守恒律、有限元法的弱形式推导、计算几何的边界表示——工程物理的通用换算律。

曲线积分：向量场中的做功W = ∫F·dr：质点沿曲线在力场中移动的功

路径弯曲度0.00