概念

热方程

抛物型方程，热核是基本解，最大值原理保证温度不会自发产生极值，解在瞬时变得光滑。

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热方程偏微分方程

01定义

热方程

u_t=\Delta u

描述扩散：高斯热核是基本解，解瞬时变得无穷光滑（无穷传播速度），最大值原理保证温度不会自发产生极值。抛物型方程的原型。

热核扩散：初始尖峰随时间摊平为高斯钟形

$\Phi(x,t)=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-|x|^2/4t}$ ：解 = 热核与初值的卷积；概率解读即布朗运动的转移密度。

初值哪怕不连续， $t>0$ 后解立即解析光滑——抛物正则性；代价是无穷传播速度（物理上需相对论修正）。

解的最大值只能在初始或边界取得：热量不会自发集中；比较原理与唯一性都由此推出，是椭圆抛物理论的灵魂。

u(x,t)=\int_{\mathbb{R}^n}\Phi(x-y,t)\,f(y)\,dy

傅里叶 1822 年以分离变量与三角级数解热传导问题；泊松给出高斯核；20 世纪维纳、费勒把热方程与布朗运动统一。

金融的黑洞-斯科尔斯期权定价方程、图像去噪（各向同性扩散）、半群理论与马尔可夫过程生成元——扩散是概率与分析的公共语言。

热方程：温度扩散的平滑化uₜ = αuₓₓ：傅里叶模 e^{−n²αt} 高频先衰减

t 时刻0.05