概念

二次曲面

椭球面、双曲面、抛物面等九类二次曲面由二次方程完全分类，其截面与形状是空间解析几何的核心。

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二次曲面解析几何

01定义

二次曲面是三元二次方程

F(x,y,z)=0

定义的空间曲面，经平移旋转化简共得九类标准型：椭球面、单叶/双叶双曲面、椭圆/双曲抛物面、圆锥面、柱面等。

椭球面与单叶双曲面（后者是直纹面，冷却塔即取其形）

经坐标变换消去交叉项，二次曲面归为九类：椭球面、双曲面（单叶/双叶）、抛物面（椭圆/双曲）、锥面与三种柱面——分类是线性代数（二次型）的胜利。

用一族平行平面截曲面，从截面曲线的变化想象整体形状，是空间解析几何的基本识图方法。

单叶双曲面与双曲抛物面可由直线族扫出（ doubly ruled ），这一性质使其成为建筑结构的宠儿。

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\quad(\text{椭球面})

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\quad(\text{单叶双曲面})

z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\quad(\text{双曲抛物面})

欧拉 1748 年首次系统分类二次曲面；柯西、普吕克等人完善。19 世纪直纹面性质被用于工程，电厂冷却塔即单叶双曲面造型。

冷却塔、大跨屋顶采用直纹面结构；卫星天线用旋转抛物面；三维建模与医学影像（等值面）处处是二次曲面。

二次曲面：x² + y² + s·z² = 1 的分类拖 s 跨过 0：椭球面变柱面再变单叶双曲面；拖 θ 旋转观察

s 系数0.60θ 旋转0.80