概念

面积与周长

多边形、圆与扇形的度量公式（如海伦公式）展示割补、极限等度量思想，是几何量化的基础。

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面积与周长欧氏几何

01定义

面积是平面图形占据区域大小的度量，周长是图形边界的长度。面积理论建立在两条公理之上：全等图形面积相等；图形分割重组（割补）不改变面积。周长的极限情形引出曲线长度与积分思想。

割补法：把一角「切下」移到另一侧，平行四边形变为等面积的矩形

把图形分割、平移、重组，面积保持不变。中国古代「出入相补」原理（刘徽）与欧几里得的面积公理殊途同归；梯形、平行四边形面积公式均可由割补矩形得到。

圆的面积由内接正多边形面积逐步逼近：边数越多，多边形越「像」圆。 $\pi$ 即由此定义为圆周长与直径之比，这一逼近正是积分思想的源头。

给定周长的所有平面封闭曲线中，圆围出的面积最大——等周定理。其证明需用变分法或对称化技巧，是几何不等式与变分法的经典起点。

S_{\triangle}=\frac{1}{2}ah,\quad S_{\text{梯形}}=\frac{(a+b)h}{2}

S_{\circ}=\pi r^2,\quad C_{\circ}=2\pi r

S_{\text{扇形}}=\frac{1}{2}r^2\theta

阿基米德用穷竭法严格证明：圆面积等于以圆半径为高、圆周长（ $2\pi r$ ）为底的三角形面积。公元 263 年，刘徽以「割圆术」从正六边形割到 3072 边形，得到 $\pi\approx 3.1416$ ；祖冲之父子进一步给出约率 $22/7$ 与密率 $355/113$ ，领先世界近千年。

面积与周长计算是土地丈量、建筑材料核算、包装与排版设计的基础；割补与极限思想直接通向微积分——定积分 $\int_a^b f(x)dx$ 本质上就是「曲边图形面积」。

定周长矩形：面积何时最大？周长固定 L=12：调整宽 x，面积 A = x(6−x)，正方形（x=3）最大

x 宽2.00