概念

维纳过程

布朗运动 W_t 有独立增量且 W_t-W_s ~ N(0,t-s)，路径连续但几乎处处不可微。

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维纳过程随机过程

01定义

维纳过程

W_t

（标准布朗运动）：独立平稳高斯增量

W_t-W_s\sim N(0,t-s)

、连续路径、

W_0=0

。它是随机游走的扩散极限，也是随机分析的基本对象——处处连续、几乎处处不可微的矛盾体。

布朗轨迹：连续、无导数、自相似的粗糙

随机游走的 Donsker 极限给出存在性：步长 $\sim 1/\sqrt{n}$ 、步频 $\sim n$ 的分段线性折线弱收敛到 $W$ ；维纳 1923 年以测度论严格构造。

路径几乎处处不可微（ $H$ 阶 $1/2$ 赫尔德）；但二次变差 $\sum(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2\to t$ ——「 $(dW)^2=dt$ 」的严格化，伊藤积分的地基。

$W$ 是马尔可夫过程且满足强马尔可夫性（停时后重新开始）；反射原理由此导出首达时分布与最大值的律。

W_t-W_s\sim N(0,t-s),\quad \langle W\rangle_t=\lim\sum(\Delta W)^2=t

布朗 1827 年观察花粉微粒运动；巴舍利耶 1900 年首建数学模型研究期权；爱因斯坦 1905 年给出扩散理论；维纳 1923 年严格构造。

金融的 Black-Scholes 模型、物理的扩散与朗之万方程、信号处理的噪声模型、机器学习随机梯度下降的扩散近似。

布朗运动：独立正态增量W(t+dt) − W(t) ~ N(0, dt)：连续但处处不可微

样本路径2