概念

测地线

测地线是长度泛函的驻点，把变分法与黎曼几何联系起来。

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测地线变分法

01定义

测地线是长度（或能量）泛函的驻点曲线：欧拉-拉格朗日方程在黎曼流形上的化身，即「加速度为零」的自平行曲线。球面上的大圆、双曲面上的直线推广——变分法与黎曼几何的交汇。

球面测地线：大圆弧是两点间的最短路

长度泛函 $L=\int\sqrt{g_{ij}\dot x^i\dot x^j}dt$ 的 E-L 方程即测地线方程 $\ddot x^k+\Gamma^k_{ij}\dot x^i\dot x^j=0$ ——克里斯托费尔符号承载弯曲。

完备流形上任意两点有测地线相连（Hopf-Rinow）；测地线极小性到割迹为止——球面的对径点为例。

自由落体沿时空测地线运动：引力 = 几何；光线弯曲、引力透镜都是测地线方程的可观测推论。

\ddot x^k+\Gamma^k_{ij}\dot x^i\dot x^j=0

欧拉与伯努利研究曲面上的最短路径；高斯 1827 年《曲面研究》奠基；黎曼 1854 年把测地线推广到任意维度流形。

导航的大圆航线、计算机视觉的测地线距离分割、形状分析（流形上的统计）、广义相对论的轨道计算。

球面测地线：大圆是两点间最短路径拖 λ、φ 移动终点：大圆 = 过球心与两点的平面和球面的交线

终点纬度0.60终点经度1.80